Lineaire regressie

$Y=\beta _{0}+\beta _{1}*X_{1}+\beta _{2}*X_{2}+\epsilon$

Wanneer gebruik ik een lineair regressie model?

Als je een correlatietechniek toepast, ben je geïnteresseerd in de mate van samenhang tussen twee variabelen $X$ en $Y$, bijvoorbeeld een onderzoek naar de samenhang tussen leeftijd en scores op een cognitieve test. Met lineaire regressie ga je een stap verder. Met deze techniek probeer je de waarden van de uitkomst $Y$ via een lineair verband te voorspellen uit die van $X$. De uitkomstvariabele $Y$ wordt de afhankelijke variabele genoemd, en de voorspeller $X$ de onafhankelijke variabele. We spreken van enkelvoudige (ook wel simple of univariable) regressie als we de uitkomst willen voorspellen met één predictor. In de praktijk zal dat in vele gevallen niet voldoende zijn en is het wenselijk om de effecten van twee of meer voorspellers te analyseren. We spreken dan van meervoudige (ook wel multiple of multivariable) lineaire regressie.

Hoe werkt (enkelvoudige) lineaire regressie?

In lineaire regressie bepalen we de regressielijn, die het beste de lineaire relatie tussen de $X$ en $Y$ variabelen beschrijft. De lineaire regressielijn wordt geschat met behulp van de vergelijking:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \begin{equation*} \begin{array}{rcl} Y&=&a+b\times X \right. \end{array} \end{equation*} }

$Y$ is de afhankelijke, uitkomstvariabele; $X$ de onafhankelijke voorspeller; en 'a' en 'b' zijn de regressiecoëfficiënten. Regressiecoëfficiënt ‘a’ wordt ook wel de intercept genoemd, en geeft de waarde van $Y$ aan als $X=0$ (de intercept bepaalt dus de hoogte van de regressielijn). De regressiecoëfficiënt ‘b’ weerspiegelt de helling (slope) van de regressielijn, en geeft de gemiddelde toename van $Y$ aan als de $X$ variabele met 1 eenheid toeneemt.

Hoe interpreteer ik mijn SPSS output bij gebruik van een lineair model?

Stel dat we in een steekproef van n=25 de Pearson’s correlatie tussen de leeftijd van proefpersonen en hun lichaamsvetpercentage 0.81 is. We willen deze samenhang echter niet alleen beschrijven, maar op basis van de leeftijd van de persoon nu ook een voorspelling doen over zijn of haar lichaamsvetpercentage. Als we in SPSS in de schermen van de module Linear Regression de variabelen ‘vetpercentage’ als afhankelijke (dependent) variabele opgeven, en de variabele leeftijd als onafhankelijke (independent), dan zullen de volgende tabellen worden gegenereerd: Model Summary, ANOVA en Coeficients. NB: in de hierna volgende voorbeelden worden sommige SPSS tabellen in verkorte vorm weergegeven.

De tabel Model Summary geeft de Pearson’s correlatie weer tussen de betreffende $X$ en $Y$ variabelen. De kolom 'R square' is een zogenaamde goodness-of-fit maat. Deze maat geeft uitdrukking aan hoe goed de geobserveerde data clusteren rond de geschatte regressielijn. In een enkelvoudige lineaire regressie is dat het kwadraat van de correlatie. De proportie wordt meestal in een percentage ‘verklaarde variantie’ uitgedrukt. In dit voorbeeld betekent R square dus dat de totale variatie in vetpercentages voor 66% verklaard kan worden door de lineaire regressie c.q. de verschillen in leeftijd.

De F-test in de ANOVA tabel toets de nulhypothese: regressiecoëfficiënt b = 0 (‘er is geen samenhang tussen $X$ en $Y$, dus de regressielijn loopt horizontaal - zonder helling - door de puntenwolk’). Uit de tabel kunnen we opmaken dat leeftijd een significante voorspeller is van het gemeten vetpercentage (regressiecoëfficiënt b ≠ 0). Of, anders geformuleerd, we kunnen concluderen dat het vetpercentages van de proefpersonen significant verklaard kunnen worden door hun verschillen in leeftijd.

De t-test in de derde tabel – Coefficients- geeft niet meer informatie dan hetgeen we al wisten uit de F-test in de ANOVA tabel, namelijk dat leeftijd een significante voorspeller is van het gemeten vetpercentage. In deze tabel wordt de lineaire vergelijking $Y=a+b\times X$ weergegeven. De regressiecoëfficiënt a zien we (enigszins verwarrend in SPSS) staan onder de kolom B, rechts van de cel ‘Constant’, en heeft de waarde 2,51. Regressiecoëfficiënt b wordt ook onder de kolom B vermeld, rechts van de variabele ‘leeftijd’, en heeft de waarde 0,55. We kunnen nu de lineaire vergelijking als volgt invullen: vetpercentage = 2,51 + (0,55 $\times$ leeftijd). Het verwachte vetpercentage van een proefpersoon van 60 jaar oud is dus: 2,507+ (0,549 $\times$ 60) = 35,45%.

Hoe werkt meervoudige lineaire regressie?

Bij meervoudige ('multiple' of 'multivariable') lineaire regressie zijn we geïnteresseerd in het gelijkertijd modelleren van twee of meer onafhankelijke variabelen. Je kunt je voorstellen dat niet alleen de leeftijd, maar ook het geslacht van de proefpersoon een bijdrage levert aan de voorspelling van zijn of haar vetpercentage. Ander voorbeeld: omdat er een associatie is tussen de lengte en het gewicht van een kind, willen we in een onderzoek naar de relatie tussen gewicht en systolische bloeddruk ook de lengte van het kind in de statische analyse betrekken. Kortom, we passen meervoudige lineaire regressie toe om:

1. de waarde van een afhankelijke variabele te voorpellen met (te verklaren uit) een set van onafhankelijke variabelen, en/of
2. na te gaan in welke mate een onafhankelijke $X$ variabele lineair gerelateerd is aan de afhankelijke $Y$ variabele, rekening houdend met (geadjusteerd voor) de invloed van andere X variabelen.

In de meervoudige lineaire regressievergelijking

$Y=a+b_{1}\times X_{1}+b_{2}\times X_{2}+\ldots +b_{k}\times X_{k}$

zijn $X_{i},(i=1,2,\ldots ,k),$ de verklarende variabelen of covariaten, is $Y$ de afhankelijk variabele, en vormen $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k}$ de (partiële) regressiecoëfficiënten. De coëfficiënt $b_{1}$ geeft aan hoeveel $Y$ toeneemt als $X_{1}$ met één eenheid toeneemt, rekening houdend met (geadjusteerd voor) de invloed van de andere $X$ variabelen door die constant te houden. Op deze wijze kunnen we dus de impact van $X_{1}$ op $Y$ analyseren onafhankelijk van de invloed van de andere $X$ variabelen.

Hoe interpreteer ik de resultaten van mijn lineaire model bij een log transformatie van de uitkomstmaat?

Ik heb een vraag over de interpretatie van de B-waarden in mijn lineaire regressie analyse. De afhankelijke variable is namelijk een log-getransformeerde cortisolwaarde waardoor de B waarde (en wellicht ook de gestandaardiseerde Beta) moeilijker te interpreteren zijn. Ik heb daarom de B-waarden terug getransformeerd (Transformed B (EXP(B-waarde)) en krijg dan waarden rond de 1. Mijn vraag is nu: hoe leg ik de B-waardes uit tijdens de presentatie op een congres komende week? Normaal gesproken spreek je van bij 1 unit toename in de afhankelijke variabele van ...(B-waarde) afname in cortisol waarde. Zelf dacht ik dat bijvoorbeeld nu Transformed [EXP(beta)] = 0.97, CI (0.95-0.99), p = .027 nu uiteglegd kan worden als:bij iedere unit toename van de afhankelijke variabele geeft een afname van 3% in cortisol. Klopt dit?

Als je een linear model fit om het effect van X op de log-getransformeerde cortisolwaarde te beoordelen, ziet dat er als volgt uit:

log(cortisol) = intercept + B * X

Inderdaad, een unit toename in X geeft B toename van de log(cortisol). Als we dit terug willen vertalen naar "gewone" cortisolwaardes, gebruiken we de inverse van de log:

Exp(log(coritsol)) = exp (intercept + B*SRIP)

Dit is gelijk aan:

cortisol = exp ( intercept + B*SRIP)

Bekijken we nu het verschil in cortisolwaarden bij toename van 1 unit SRIP:

cortisol = exp ( intercept + B*X + B)

Dan is dit gebruik makend van de rekenregels gelijk aan

exp (intercept + B*X) * exp (B)

Nu is het eerste gedeelte van bovenstaande vergelijking precies gelijk aan de cortisolwaarde op het "beginpunt", dus inderdaad: een unit extra SRIP geeft vermenigvuldiging van de cortisolwaarde met de factor exp(B). En ook inderdaad: indien de exp(B) = 0.97, dan geeft vermenigvuldiging hiermee een afname van 3%.

Je interpretatie was dus juist. (In het bovenstaande ben ik wel vanuit gegaan dat de cortisol waardes met de natuurlijke logaritme getransformeerd zijn en niet bijvoorbeeld met een 10log).

Waar vind ik lineaire regressie in SPSS?

Je vind lineaire regressie in SPSS 16 onder Analyze -> Regression -> Linear.

Referenties

Terug naar OVERZICHT voor een overzicht van alle statistische onderwerpen op deze wiki.

Terug naar KEUZE TOETS voor hulp bij het uitzoeken van een geschikte toets of analyse.